Module et argument - Corrigé

Énoncé

Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et un argument.

1. $z_1={\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{\frac{4i\pi }{7}}$

2. $z_2=\sqrt{3}{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{5}}$

3. $z_3=-3{\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}$

4.  $z_4=2\pi {\text{e}}^{-\frac{i\pi }{3}}$

Solution

1.  $z_1$ est écrit sous forme exponentielle, donc $$ $\left|z_1\right|={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $\arg (z_1)\equiv {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}[2\pi ]$ .

2. $z_2$ est écrit sous forme exponentielle, donc  $\left|z_2\right|=\sqrt{3}$ et  $\arg (z_2)\equiv -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}[2\pi ]$ .

3. $z_3$ n'est pas écrit sous forme exponentielle, mais sa forme exponentielle est :
$\begin{array}{r}{z}_3=-3{\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}=3{\text{e}}^{i\pi }\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}=3{\text{e}}^{i(\pi +\frac{\pi }{4})}=3{\text{e}}^{\frac{5i\pi }{4}}\end{array}$ donc  $\left|z_3\right|=3$   et  $\arg (z_3)\equiv {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}[2\pi ]$ .

4.  $z_4$  est écrit sous forme exponentielle, donc $\left|z_4\right|=2\pi$  et  $\arg (z_4)\equiv -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}[2\pi ]$ .